1. 벡터공간과 부분공간
1. 벡터공간의 정의
벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) $V$는 체(field) $F$ 위에서 정의된 집합으로,
다음 두 연산이 정의되어 있으며, 아래의 8가지 공리를 만족하는 대수적 구조이다.
합(sum):
집합 $V$의 두 원소 $x, y$에 대하여 유일한 원소 $x + y \in V$를 대응하는 연산이다.
이때, $x + y$를 $x$와 $y$의 합이라 한다.스칼라 곱(scalar multiplication):
체 $F$의 원소 $a$와 벡터공간 $V$의 원소 $x$마다 유일한 원소 $ax \in V$를 대응하는 연산이다.
이때, $ax$는 $a$와 $x$의 스칼라 곱(product)이라 한다.
다음은 벡터공간이 만족해야 하는 8가지 공리이다.
(VS1) 모든 $x, y \in V$에 대하여 $x + y = y + x$ 이다. (덧셈의 교환법칙)
(VS2) 모든 $x, y, z \in V$에 대하여 $(x + y) + z = x + (y + z)$ 이다. (덧셈의 결합법칙)
(VS3) 모든 $x \in V$에 대하여 $x + 0 = x$ 인 $0 \in V$가 존재한다.
(VS4) 각 $x \in V$마다 $x + y = 0$ 인 $y \in V$가 존재한다.
(VS5) 각 $x \in V$에 대하여 $1x = x$ 이다.
(VS6) 모든 $a, b \in F$와 모든 $x \in V$에 대하여 $(ab)x = a(bx)$ 이다.
(VS7) 모든 $a \in F$와 모든 $x, y \in V$에 대하여 $a(x + y) = ax + ay$ 이다.
(VS8) 모든 $a, b \in F$와 모든 $x \in V$에 대하여 $(a + b)x = ax + bx$ 이다.
체와 벡터공간의 표기
벡터공간을 보다 정확하게 표현하면
체(field) $F$ 위에서 정의된 $F$-벡터공간 $V$라고 한다.
다만, 맥락상 어떤 체 위에서 정의된 벡터공간인지 명확하여
혼동의 여지가 없는 경우에는
이를 간단히 벡터공간 $V$라고 줄여서 쓴다.
체(field) $F$의 의미
체 $F$는 스칼라가 속한 수 체계를 의미한다.
즉, 벡터에 곱해지는 수들이 어떤 집합에 속하는지를 나타낸다.
체 $F$는 다음 성질을 만족하는 대수적 구조이다.
- 덧셈과 곱셈이 정의되어 있다.
- 덧셈과 곱셈에 대해 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.
- 덧셈에 대한 항등원 $0$과 곱셈에 대한 항등원 $1$이 존재한다.
- 모든 원소는 덧셈에 대한 역원을 가지며, $0$이 아닌 모든 원소는 곱셈에 대한 역원을 가진다.
- 곱셈은 덧셈에 대해 분배법칙을 만족한다.
대표적인 예로는 다음과 같은 체들이 있다.
- 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$
- 복소수 전체의 집합 $\mathbb{C}$
- 유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$
스칼라와 벡터
- 체 $F$의 원소를 스칼라(scalar)라 하고,
- 벡터공간 $V$의 원소를 벡터(vector)라 한다.
2. 벡터공간의 예시
1. $F^n$ 벡터 공간
체 $F$에서 성분을 가지는 모든 $n$순서쌍의 집합을
\[F^n = \{ (a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in F \}\]라고 한다.
\[u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n\] \[v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n\]$c \in F$일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.
\[u + v = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n) \] \[cu = (ca_1, ca_2, \dots, ca_n) \]이렇게 정의하면 $F^n$은 $F$-벡터공간이 된다.
\[\mathbb{R}^3 \text{ 는 } \mathbb{R}\text{-벡터공간이다.} \]
예를 들어,
\[(3,-2,0) + (-1,1,4) = (2,-1,4)\] \[-5(1,-2,0) = (-5,10,0) \]같은 방식으로,
\[\mathbb{C}^2 \text{ 는 } \mathbb{C}\text{-벡터공간이다.} \]예를 들면
\[(1+i,\,2) + (2-3i,\,4i) = (3-2i,\,2+4i)\] \[i(1+i,\,2) = (-1+i,\,2i) \]$F^n$의 벡터는 보통 열벡터(column vector)로 다음과 같이 표현한다.
\[\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix}\]1순서쌍은 체 $F$의 원소 하나와 동일하게 생각할 수 있으므로
\[F^1 = F \]로 쓸 수 있으며, 많은 경우 간단히 $F$라고 표기한다.
2. $M_{m \times n}(F)$ 벡터 공간
체 $F$에서 성분을 가지는 모든 $m \times n$ 행렬의 집합을
\[M_{m \times n}(F) \]라 한다.
각 행렬은 다음과 같은 직사각형 배열로 표현된다.
\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad a_{ij} \in F\]행렬의 구성
- $a_{ij}$ ($1 \le i \le m, 1 \le j \le n$)는 행렬 $A$의 성분이다.
- $i=j$인 성분 $a_{ij}$를 대각성분 (diagonal entry) 이라 한다.
- $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ 은 $A$의 $i$번째 행 (row) 이다.
- $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ 는 $A$의 $j$번째 열 (column) 이다.
- 각 행은 $F^n$의 벡터, 각 열은 $F^m$의 벡터로 생각할 수 있다.
- $F^n$의 행벡터는 $1 \times n$ 행렬로, $F^m$의 열벡터는 $m \times 1$ 행렬로 나타낼 수 있다.
영행렬
모든 성분이 0인 $m \times n$ 행렬을 영행렬 (zero matrix) 이라 하며 $O$로 표기한다.
벡터공간 구조
$A, B \in M_{m \times n}(F)$, $c \in F$일 때
합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.
\[(A + B){ij} = A{ij} + B_{ij} \] \[(cA){ij} = c A{ij} \]이때 $M_{m \times n}(F)$는 $F$-벡터공간이 된다.
예시 $M_{2 \times 3}(\mathbb{R})$
\[\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 & -2 & 6\\ 3 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 5\\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}\] \[-3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 6\\ 9 & -6 & -9 \end{pmatrix}\]3. $F(S, F)$ 벡터 공간
체 $F$의 공집합이 아닌 집합 $S$를 잡자.
$F(S,F)$는 $S$에서 $F$로 가는 모든 함수의 집합이다.
\[F(S,F) = \{ f \mid f : S \to F \}\]두 함수 $f, g \in F(S,F)$는
모든 $s \in S$에 대하여 $f(s) = g(s)$일 때 같다고 한다.
연산의 정의
$f, g \in F(S,F)$, $c \in F$, $s \in S$일 때
합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.
\[(f + g)(s) = f(s) + g(s)\] \[(cf)(s) = c f(s)\]이때 $F(S,F)$는 $F$-벡터공간이 된다.
다항식 공간
계수가 체 $F$의 원소인 다항식은 다음과 같이 정의한다.
\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\]여기서 $n \ge 0$는 정수이며, 각 계수 $a_k \in F$이다.
모든 계수가 0인 다항식은 영 다항식 (zero polynomial) 이라 하며,
편의상 차수를 $-1$로 정의한다.
다항식의 차수
영 다항식이 아닌 다항식
\[f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0\]의 차수(degree)는 $a_n \neq 0$일 때 가장 큰 지수 $n$으로 정의한다.
차수가 0인 다항식은
\[f(x) = c \quad (c \in F,\; c \neq 0)\]의 꼴이다.
다항식의 같음
두 다항식
\[f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0\] \[g(x) = b_m x^m + \cdots + b_0\]에 대하여 $m = n$이고 모든 $i = 0, 1, \dots, n$에 대해
$a_i = b_i$이면 두 다항식은 같다.
4. $P(F)$ 벡터 공간
체 $F$에서 계수를 가지는 두 다항식 $f, g$를 생각하자.
\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\] \[g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_1 x + b_0\]$m \le n$일 때,
$b_{m+1} = b_{m+2} = \cdots = b_n = 0$이라 두면 $g(x)$를 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[g(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_1 x + b_0 \]연산의 정의
두 다항식의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.
\[f(x) + g(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)\] \[cf(x) = c a_n x^n + c a_{n-1} x^{n-1} \cdots + c a_1 x + c a_0\]이때 $c \in F$는 임의의 스칼라이다.
다항식 공간
이와 같이 정의한 연산에 대해
체 $F$에서 계수를 가지는 모든 다항식의 집합은 벡터공간이 되며,
이를 $P(F)$라 쓴다.
3. 부분공간
부분공간의 정의
$F$-벡터공간 $V$의 부분집합 $W$를 생각하자.
이 부분집합 $W$가 $V$에서 정의된 덧셈과 스칼라 곱을 그대로 가지며
그 자체로 $F$-벡터공간이 될 때,
$W$를 $V$의 부분공간(subspace)이라 한다.
모든 벡터공간 $V$에 대하여
$V$ 자신과 $\lbrace 0 \rbrace$은 항상 $V$의 부분공간이다.
특히 $\lbrace 0 \rbrace$은 점공간인 부분공간(zero subspace)이라 한다.
부분집합 $W$가 부분공간인지 확인하기 위해
벡터공간의 8가지 공리를 모두 확인할 필요는 없다.
왜냐하면 벡터공간 $V$의 모든 벡터에 대해
(VS1), (VS2), (VS5), (VS6), (VS7), (VS8)은 이미 성립하며,
이 성질들은 부분집합 $W$의 벡터들에 대해서도 자동으로 성립하기 때문이다.
따라서 $W$가 $V$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은
다음의 4가지 성질을 만족하는 것이다.
부분공간의 판별 조건
성질 1 (덧셈에 대한 닫힘)
모든 $x, y \in W$에 대하여 $x + y \in W$ 이다.성질 2 (스칼라 곱에 대한 닫힘)
모든 $c \in F$와 모든 $x \in W$에 대하여 $cx \in W$ 이다.성질 3 (영벡터의 포함)
$W$는 영벡터 $0$을 포함한다.성질 4 (덧셈에 대한 역원의 포함)
$W$에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 다시 $W$의 원소이다.
4. 부분공간의 예시
1. $P_n(F)$ 부분공간
음이 아닌 정수 $n$에 대하여
차수가 $n$ 이하인 모든 다항식의 집합을 $P_n(F)$ 라 하자.
그러면 $P_n(F)$는 $P(F)$의 부분집합이다.
부분공간 성질 확인
(i) 영 다항식의 차수는 $-1$이므로 $P_n(F)$에 속한다.
(ii) 차수가 $n$ 이하인 두 다항식을 더하면, 그 합의 차수도 $n$ 이하이다.
(iii) 차수가 $n$ 이하인 다항식에 스칼라를 곱해도 차수는 변하지 않는다.
따라서 부분공간 판별 정리에 의해
\[P_n(F) \text{ 는 } P(F) \text{ 의 부분공간이다.}\]2. $C(\mathbb{R})$ 부분공간
실수집합 $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로 가는 모든 연속함수의 집합을
$C(\mathbb{R})$이라 하자.
그러면 $C(\mathbb{R})$는 벡터공간 $F(\mathbb{R}, \mathbb{R})$의 부분집합이다.
부분공간 성질 확인
(i) $F(\mathbb{R}, \mathbb{R})$에 속한 영함수
$f(t) = 0$ 는 모든 실수 $t$에 대해 함수값이 0인 상수함수이며,
상수함수는 연속함수이므로 $f \in C(\mathbb{R})$이다.(ii) 두 연속함수의 합은 연속함수이고,
연속함수의 스칼라 곱도 연속함수이므로,
$C(\mathbb{R})$는 합과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다.
따라서 부분공간 판별 정리에 의해
\[C(\mathbb{R}) \text{ 는 } F(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \text{ 의 부분공간이다.}\]3. 대각행렬 부분공간
$n \times n$ 행렬 $A = (a_{ij})$가
대각선 성분을 제외한 모든 성분이 0일 때,
즉,
를 만족하면, $A$를 대각행렬(diagonal matrix)이라 한다.
모든 성분이 0인 영행렬은 대각행렬이다.
$n \times n$ 대각행렬 $A, B$와 임의의 스칼라 $c$에 대하여 다음이 성립한다.
닫힘성 확인
대각성분이 아닌 모든 성분에 대해 $i \neq j$이면
\[(A + B){ij} = A{ij} + B_{ij} = 0 + 0 = 0\] \[(cA){ij} = c A{ij} = c \cdot 0 = 0\]따라서 대각행렬의 집합은 합과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다.
따라서 부분공간 판별 정리에 의해
\[\text{대각행렬의 집합은 } M_{n \times n}(F) \text{ 의 부분공간이다.}\]