10. 대각화 및 고유값, 고유벡터
1. 대각화
유한차원 벡터공간 $V$에서 정의된 선형연산자 $T$에 대하여 다음과 같이 정의한다.
어떤 순서기저 $\beta$에 대하여
행렬 표현 $[T]_{\beta}$가 대각행렬이 되도록 하는 경우가 존재하면,
선형연산자 $T$는 대각화 가능(diagonalizable)하다고 한다.
또한 선형연산자 $T = L_A$가 대각화 가능할 때,
이에 대응하는 정사각행렬 $A$ 역시 대각화 가능하다고 한다.
유한차원 벡터공간 $V$에서 정의된 선형연산자 $T$는 언제 대각화 가능할까?
즉, 어떤 순서기저
를 선택하면 $[T]_{\beta}$가 대각행렬이 되도록 할 수 있을까를 묻는 것이다.
$D = [T]_{\beta}$가 대각행렬이라고 하자.
그러면 각 기저벡터 $v_j \in \beta$에 대하여 다음이 성립한다.
즉, 각 기저벡터 $v_j$는 어떤 스칼라 $\lambda_j$에 대하여
\[T(v_j) = \lambda_j v_j\]를 만족한다.
역으로,
$\beta = { v_1, v_2, \dots, v_n }$가 적절한 스칼라 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$에 대하여
를 만족하는 순서기저라면,
$[T]_{\beta}$는 다음과 같은 대각행렬이 된다.
앞의 논의에서 알 수 있듯이,
기저 $\beta$의 각 벡터 $v$는 적절한 스칼라 $\lambda$에 대하여
를 만족한다.
특히 $v$는 기저의 원소이므로 영벡터가 아니다.
2. 고유값 및 고유벡터
벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$에 대하여 다음과 같이 정의한다.
영벡터가 아닌 벡터 $v \in V$와 어떤 스칼라 $\lambda$가 존재하여
\[T(v) = \lambda v\]를 만족할 때, 벡터 $v$를 선형연산자 $T$의 고유벡터(eigenvector)라 한다.
이때 스칼라 $\lambda$를 고유벡터 $v$에 대응하는 고유값(eigenvalue)이라 한다.
행렬 $A \in M_{n \times n}(F)$에 대하여 다음과 같이 정의한다.
선형변환 $L_A : F^n \to F^n$의 고유벡터, 즉
\[A v = \lambda v\]를 만족하게 만드는 영벡터가 아닌 벡터 $v \in F^n$을
행렬 $A$의 고유벡터라 한다.
이때 스칼라 $\lambda$를 고유벡터 $v$에 대응하는 행렬 $A$의 고유값이라 한다.
예제
행렬
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\]와 두 벡터
\[v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\]에 대하여 다음을 확인하자.
먼저 $v_1$에 대하여,
\[L_A(v_1) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = -2v_1\]이므로 $v_1$은 $L_A$의 고유벡터이자 행렬 $A$의 고유벡터이며, 이에 대응하는 고유값은
\[\lambda_1 = -2\]이다.
다음으로 $v_2$에 대하여,
\[L_A(v_2) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 20 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 5v_2\]이므로 $v_2$ 역시 $L_A$의 고유벡터이자 행렬 $A$의 고유벡터이며, 이에 대응하는 고유값은
\[\lambda_2 = 5\]이다.
따라서
\[\beta = \{v_1, v_2\}\]는 $A$와 $L_A$의 고유벡터들로 이루어진 $\mathbb{R}^2$의 순서기저가 된다. 그러므로 행렬 $A$와 선형연산자 $L_A$는 대각화 가능하다.
이때 고유벡터를 열벡터로 갖는 행렬을
\[Q = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\]라 하면, 정리와 따름정리에 의해
\[Q^{-1} A Q = [L_A]_{\beta} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\]가 성립한다.