2. 일차결합과 생성(span)
1. 일차결합
벡터공간 $V$와 공집합이 아닌 부분집합 $S \subseteq V$를 생각하자.
유한개의 벡터 $u_1, u_2, \dots, u_n \in S$와 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n \in F$에 대하여
\[v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n\]의 꼴로 나타낼 수 있는 벡터 $v \in V$를
$S$의 일차결합(linear combination) 이라 한다.
이때
$u_1, u_2, \dots, u_n$은 결합에 사용된 벡터들이고,
$a_1, a_2, \dots, a_n$은 이 일차결합의 계수(coefficient) 라 한다.
모든 벡터공간 $V$와 모든 벡터 $v \in V$에 대하여
\[0v = 0\]이 성립하며,
영벡터는 공집합이 아닌 임의의 부분집합의 일차결합으로 항상 나타낼 수 있다.
2. 생성공간(span)
벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S \subseteq V$를 생각하자.
$S$의 생성공간(span) 이란, $S$의 벡터들을 사용하여 만들 수 있는 모든 일차결합의 집합을 말하며, 이를 $\mathrm{span}(S)$로 표기한다.
편의를 위해
\[\mathrm{span}(\varnothing) = \{0\}\]으로 정의한다.
예시
$\mathbb{R}^3$에서 집합
\[S = \{(1,0,0), (0,1,0)\}\]의 생성공간은
\[a(1,0,0) + b(0,1,0) = (a, b, 0)\]의 꼴로 나타낼 수 있는 모든 벡터들의 집합이다.
(단, $a, b$는 스칼라이다.)
즉,
\[\mathrm{span}\{(1,0,0), (0,1,0)\} = \{(a, b, 0) \mid a, b \in \mathbb{R}\}\]이며, 이는 $\mathbb{R}^3$의 $xy$-평면이고 $\mathbb{R}^3$의 부분공간이다.
3. 생성
벡터공간 $V$의 부분집합 $S \subseteq V$에 대하여
\[\mathrm{span}(S) = V\]이면, $S$는 $V$를 생성한다(generate 또는 span) 라고 한다.
이 경우,
“ $S$의 벡터들이 $V$를 생성한다”라고 말한다.
생성 예시
(1) $\mathbb{R}^3$의 생성
세 벡터
\[(1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)\]은 $\mathbb{R}^3$를 생성한다.
즉, $\mathbb{R}^3$의 임의의 벡터 $(a_1,a_2,a_3)$는 위 세 벡터의 일차결합으로 표현된다.
\[r(1,1,0) + s(1,0,1) + t(0,1,1) = (a_1,a_2,a_3)\]이를 만족하는 스칼라는 다음과 같다.
\[r=\frac12(a_1+a_2-a_3), \quad s=\frac12(a_1-a_2+a_3), \quad t=\frac12(-a_1+a_2+a_3)\](2) $P_2(\mathbb{R})$의 생성
다음 세 다항식
\[x^2+3x-2,\quad 2x^2+5x-3,\quad -x^2-4x+4\]은 $P_2(\mathbb{R})$를 생성한다.
즉, 임의의 다항식
\[ax^2+bx+c \in P_2(\mathbb{R})\]는 위 세 다항식의 일차결합으로 나타낼 수 있다.
\[\begin{aligned} &(-8a+5b+3c)(x^2+3x-2) \\ &+ (4a-2b-c)(2x^2+5x-3) \\ &+ (-a+b+c)(-x^2-4x+4) \\ &= ax^2 + bx + c \end{aligned}\](3) $M_{2\times2}(\mathbb{R})$의 생성
다음 네 행렬
\[\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\]은 $M_{2\times2}(\mathbb{R})$를 생성한다.
임의의 행렬
\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\]는 다음과 같이 일차결합으로 표현된다.
\[\begin{aligned}A =\;&\left(\frac13 a_{11}+\frac13 a_{12}+\frac13 a_{21}-\frac23 a_{22}\right)\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} \\&+ \left(\frac13 a_{11}+\frac13 a_{12}-\frac23 a_{21}+\frac13 a_{22}\right)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \\&+ \left(\frac13 a_{11}-\frac23 a_{12}+\frac13 a_{21}+\frac13 a_{22}\right)\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} \\&+ \left(-\frac23 a_{11}+\frac13 a_{12}+\frac13 a_{21}+\frac13 a_{22}\right)\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\end{aligned}\]