3. 일차종속과 일차독립
1. 일차종속
벡터공간 $V$의 부분집합 $S \subseteq V$를 생각하자.
서로 다른 유한개의 벡터 $u_1, u_2, \dots, u_n \in S$와
적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n \in F$가 존재하여
을 만족하면,
집합 $S$는 일차종속(linearly dependent)이라 한다.
이때 $S$에 속한 벡터들도 일차종속이라 한다.
임의의 벡터 $u_1, u_2, \dots, u_n \in V$에 대하여
모든 계수가
이면
\[a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n = 0\]이 성립한다.
이를 $u_1, u_2, \dots, u_n$의 일차결합에 대한
영벡터의 자명한 표현(trivial representation of $0$)이라 한다.
집합이 일차종속이면,
적절한 벡터들을 선택하여
영벡터를 자명하지 않은 방식으로 표현할 수 있다.
또한 영벡터 $0$을 포함하는 모든 부분집합은
항상 일차종속이다.
왜냐하면
\[0 = 1 \cdot 0\]은 영벡터의 자명하지 않은 표현이기 때문이다.
일차종속의 예시 1
$\mathbb{R}^4$의 부분집합
\[S = \{(1,3,-4,2),\ (2,2,-4,0),\ (1,-3,2,-4),\ (-1,0,1,0)\}\]를 생각하자.
집합 $S$가 일차종속임을 보이기 위해서는
적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, a_3, a_4$가 존재하여
을 만족함을 보이면 된다.
이는 다음 연립일차방정식이
자명하지 않은 해를 가지는지 확인하는 것과 같다.
이 연립방정식의 해 중 하나는
\[a_1 = 4,\quad a_2 = -3,\quad a_3 = 2,\quad a_4 = 0\]이다.
이를 원래의 일차결합에 대입하면
\[4(1,3,-4,2) - 3(2,2,-4,0) + 2(1,-3,2,-4) + 0(-1,0,1,0) = 0\]이 성립한다.
따라서 $S$는 $\mathbb{R}^4$의 일차종속인 부분집합이다.
앞의 결과를 이용하면
$S$에 속한 한 벡터를 나머지 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다.
위에서 구한 계수들을 정리하면,
\[(1,3,-4,2) = \frac{3}{4}(2,2,-4,0) - \frac{1}{2}(1,-3,2,-4) + 0(-1,0,1,0)\]이다.
즉, 벡터 $(1,3,-4,2)$는
$S$의 나머지 벡터들의 일차결합으로 표현된다.
이는 집합 $S$가 일차종속일 때,
적어도 하나의 벡터가
다른 벡터들의 일차결합으로 나타날 수 있음을 보여주는 예시이다.
일차종속의 예시 2
실수체 $\mathbb{R}$ 위의 행렬공간 $M_{2 \times 3}(\mathbb{R})$의 부분집합
\[S = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 & 7 & 4 \\ 6 & -2 & -7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 & 3 & 11 \\ -1 & -3 & 2 \end{pmatrix} \right\}\]를 생각하자.
다음이 성립하므로, 집합 $S$는 일차종속이다.
\[5 \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 5 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} -3 & 7 & 4 \\ 6 & -2 & -7 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} -2 & 3 & 11 \\ -1 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]이는 세 행렬의 일차결합이 영행렬이 되며,
계수 중 적어도 하나가 0이 아니므로
자명하지 않은 일차결합이다.
따라서 $S$는 $M_{2 \times 3}(\mathbb{R})$의 일차종속인 부분집합이다.
2. 일차독립
벡터공간 $V$의 부분집합 $S \subseteq V$를 생각하자.
집합 $S$가 일차종속이 아니면,
$S$를 일차독립(linearly independent)이라 한다.
이때 $S$에 속한 벡터들도 일차독립이라 한다.
일차독립인 집합에 대하여 다음 명제들은
모든 벡터공간에서 성립한다.
명제 1
공집합은 일차독립이다.
즉, 어떤 집합이 일차종속이기 위해서는
반드시 공집합이 아니어야 한다.
명제 2
영벡터가 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은
일차독립이다.
실제로, 만약 $\lbrace u \rbrace$가 일차종속이라면
$0$이 아닌 스칼라 $a$가 존재하여
이 된다.
양변에 $a^{-1}$을 곱하면
\[u = a^{-1}(au) = a^{-1}0 = 0\]이 되어,
$u$가 영벡터가 아니라는 가정에 모순이다.
따라서 $\lbrace u \rbrace$는 일차독립이다.
명제 3
어떤 집합 $S$가 일차독립이기 위한 필요충분조건은,
영벡터 $0$을 $S$의 벡터들에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이
오직 자명한 표현뿐인 것이다.
일차독립의 예시 1
다음 집합이 일차독립임을 보이고자 한다.
\[S = \lbrace (1,0,0,-1),\, (0,1,0,-1),\, (0,0,1,-1),\, (0,0,0,1) \rbrace\]이 집합에서 영벡터 $0$의 일차결합 표현이
오직 자명한 표현뿐임을 보이면 된다.
스칼라 $a_1, a_2, a_3, a_4$에 대하여 다음이 성립한다고 가정하자.
\[a_1(1,0,0,-1) + a_2(0,1,0,-1) + a_3(0,0,1,-1) + a_4(0,0,0,1) = (0,0,0,0)\]좌변과 우변의 각 성분을 비교하면 다음의 관계식을 얻는다.
\[\begin{aligned} a_1 &= 0 \\ a_2 &= 0 \\ a_3 &= 0 \\ - a_1 - a_2 - a_3 + a_4 &= 0 \end{aligned}\]앞의 세 식으로부터 $a_1 = a_2 = a_3 = 0$이고,
이를 마지막 식에 대입하면 $a_4 = 0$임을 얻는다.
따라서 이 방정식의 유일한 해는
\[a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0\]이다.
즉, 영벡터의 일차결합 표현은 자명한 경우밖에 없으므로
집합 $S$는 일차독립이다.
일차독립의 예시 2
$k = 0, 1, \dots, n$에 대하여 다음과 같이 다항식을 정의하자.
\[p_k(x) = x^k + x^{k+1} + \cdots + x^n\]이때 집합
\[\lbrace p_0(x), p_1(x), \dots, p_n(x) \rbrace\]은 다항식 공간 $P_n(F)$에서 일차독립임을 보이고자 한다.
이를 위해 스칼라 $a_0, a_1, \dots, a_n$에 대하여
\[a_0 p_0(x) + a_1 p_1(x) + \cdots + a_n p_n(x) = 0\]이라고 가정하자.
좌변을 정리하면 다음과 같다.
\[a_0 + (a_0 + a_1)x + (a_0 + a_1 + a_2)x^2 + \cdots + (a_0 + a_1 + \cdots + a_n)x^n = 0\]이제 좌변과 우변의 각 항 $x^k \ (k = 0, 1, \dots, n)$의 계수를 비교하면
다음 연립방정식을 얻는다.
이 연립방정식으로부터 순차적으로
\[a_0 = a_1 = \cdots = a_n = 0\]임을 알 수 있다.
따라서 영다항식의 일차결합 표현은 자명한 경우밖에 없으며,
집합
은 $P_n(F)$에서 일차독립이다.