4. 기저와 차원
1. 기저의 정의
벡터공간 $V$와 그 부분집합 $\beta \subseteq V$를 생각하자.
집합 $\beta$가 일차독립이고 동시에 $V$를 생성하면,
$\beta$를 $V$의 기저(basis)라 한다.
즉,
- $\beta$는 일차독립이고,
- $\beta$의 일차결합으로 $V$의 모든 벡터를 표현할 수 있다.
이때 $\beta$에 속한 벡터들을
$V$의 기저를 이루는 벡터들이라 한다.
기저 $\beta$가 주어지면,
$V$에 속한 모든 벡터는
$\beta$의 벡터들에 대한 일차결합으로 반드시 표현될 수 있으며,
그 표현은 유일하다.
따라서 일차독립인 생성집합은
주어진 벡터공간을 구성하는 가장 기본적인 레고 조각(building blocks)이라 할 수 있다.
기저의 예시들
예시 1. 영공간의 기저
공집합에 대하여
\[\operatorname{span}(\varnothing) = \lbrace 0 \rbrace\]이며, 공집합 $\varnothing$은 일차독립이다.
따라서 $\varnothing$은
영공간 $\lbrace 0 \rbrace$의 기저이다.
예시 2. $\boldsymbol{F^n}$의 표준기저
벡터공간 $F^n$에서 다음 벡터들을 생각하자.
\[\begin{aligned} e_1 &= (1,0,0,\dots,0), \\ e_2 &= (0,1,0,\dots,0), \\ &\;\vdots \\ e_n &= (0,0,\dots,0,1) \end{aligned}\]집합
\[\lbrace e_1, e_2, \dots, e_n \rbrace\]은 $F^n$의 기저이다.
이 기저를 $F^n$의 표준기저(standard basis)라 한다.
예시 3. 행렬공간의 기저
행렬 $E^{ij} \in M_{m \times n}(F)$는
$i$행 $j$열 성분만 1이고,
나머지 성분은 모두 0인 행렬이다.
집합
\[\lbrace E^{ij} : 1 \le i \le m,\; 1 \le j \le n \rbrace\]은 $M_{m \times n}(F)$의 기저이다.
예시 4. 다항식 공간 $P_n(F)$의 표준기저
집합
\[\lbrace 1, x, x^2, \dots, x^n \rbrace\]은 다항식 공간 $P_n(F)$의 기저이다.
이 기저를 $P_n(F)$의 표준기저라 한다.
예시 5. 다항식 공간 $P(F)$의 기저
집합
\[\lbrace 1, x, x^2, \dots \rbrace\]은 모든 다항식으로 이루어진 벡터공간 $P(F)$의 기저이다.
2. 차원의 정의
기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimension)이라 한다.
벡터공간 $V$의 기저가 $n$개의 벡터로 이루어질 때,
이때의 유일한 자연수 $n$을
벡터공간 $V$의 차원(dimension)이라 하고,
로 표기한다.
즉,
- $V$가 유한차원 벡터공간이면,
- $V$의 모든 기저는 동일한 개수의 벡터를 가지며,
- 그 개수가 바로 $\dim(V)$이다.
기저가 유한하지 않은 벡터공간을
무한차원(infinite dimension) 벡터공간이라 한다.
차원의 예시들
예시 1
벡터공간 $\lbrace 0 \rbrace$의 차원은 0이다.
예시 2
벡터공간 $F^n$의 차원은 $n$이다.
예시 3
벡터공간 $M_{m \times n}(F)$의 차원은 $mn$이다.
예시 4
벡터공간 $P_n(F)$의 차원은 $n + 1$이다.
벡터공간은 어느 체 위에 있는지에 따라
차원이 달라질 수 있다.
예시 5
복소수체 $\mathbb{C}$에서
복소수 벡터공간 $\mathbb{C}$의 차원은 1이고,
기저는
이다.
예시 6
실수체 $\mathbb{R}$에서
복소수 벡터공간 $\mathbb{C}$의 차원은 2이고,
기저는
이다.
예시 7
벡터공간 $P(F)$는 무한차원이다.
이는 일차독립인 무한집합
\[\lbrace 1, x, x^2, \dots \rbrace \subset P(F)\]이 존재하기 때문이다.