5. 선형변환, 영공간, 상공간
1. 선형변환
벡터공간 $V, W$가 같은 체 $F$ 위의 벡터공간이라고 하자.
정의역이 $V$이고 공역이 $W$인 함수 $T$를
$T : V \to W$로 표기한다.
모든 $x, y \in V$와 모든 $c \in F$에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 함수
$T : V \to W$를
$V$에서 $W$로 가는 선형변환(linear transformation)이라 한다.
(가) 덧셈에 대하여
\[T(x + y) = T(x) + T(y)\](나) 스칼라 곱에 대하여
\[T(cx) = cT(x)\]
‘$T$가 선형변환이다’라는 표현을 간단히
‘$T$는 선형(linear)이다’라고 한다.
선형변환의 성질
선형변환 $T : V \to W$에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
성질 1
$T$가 선형이면,
\[T(0) = 0\]이다.
성질 2
$T$가 선형이기 위한 필요충분조건은
모든 $x, y \in V$, $c \in F$에 대하여
가 성립하는 것이다.
성질 3
$T$가 선형이면
모든 $x, y \in V$에 대하여
가 성립한다.
성질 4
$T$가 선형이기 위한 필요충분조건은
모든 $x_1, x_2, \dots, x_n \in V$와
모든 $a_1, a_2, \dots, a_n \in F$에 대하여
가 성립하는 것이다.
어떤 함수가 선형임을 보일 때에는
주로 성질 2를 사용한다.
선형변환의 예시
예시 1
선형변환 $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$를 다음과 같이 정의하자.
\[T(a_1, a_2) = (2a_1 + a_2,\; a_1)\]$T$가 선형임을 보이기 위하여
\[c \in \mathbb{R}, x = (b_1, b_2), y = (d_1, d_2)\]라 하자.
그러면
\[cx + y = (cb_1 + d_1,\; cb_2 + d_2)\]이므로 다음이 성립한다.
\[T(cx + y) = \bigl(2(cb_1 + d_1) + cb_2 + d_2,\; cb_1 + d_1\bigr)\]또한,
\[cT(x) + T(y) = c(2b_1 + b_2,\; b_1) + (2d_1 + d_2,\; d_1)\] \[= (2cb_1 + cb_2 + 2d_1 + d_2,\; cb_1 + d_1)\] \[= \bigl(2(cb_1 + d_1) + cb_2 + d_2,\; cb_1 + d_1\bigr)\]따라서
\[T(cx + y) = cT(x) + T(y)\]가 성립하므로 $T$는 선형이다.
예시 2
무한 번 미분가능한 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$의 집합을 $V$라 하자.
그러면 $V$는 $\mathbb{R}$-벡터공간이다.
선형변환 $T : V \to V$를
\[T(f) = f'\]로 정의하자.
함수 $g, h \in V$와 $a \in \mathbb{R}$에 대하여
\[T(ag + h) = (ag + h)' = ag' + h' = aT(g) + T(h)\]가 성립한다.
따라서 성질 2에 의해 $T$는 선형변환이다.
예시 3
$V = C(\mathbb{R})$를 $\mathbb{R}$에서 정의된 모든 연속함수의 집합이라 하자.
$a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$에 대하여 선형변환
를 다음과 같이 정의하자.
\[T(f) = \int_a^b f(t)\,dt\]일차결합한 함수의 정적분은
각각의 함수를 정적분한 뒤 일차결합한 것과 같으므로
$T$는 선형변환이다.
2. 항등변환과 영변환
$F$-벡터공간 $V, W$에 대하여 다음과 같은 선형변환을 정의한다.
항등변환(identity transformation)
\[I_V(x) = x\]
$I_V : V \to V$는 모든 $x \in V$에 대하여로 정의되는 함수이다.
영변환(zero transformation)
\[T_0(x) = 0\]
$T_0 : V \to W$는 모든 $x \in V$에 대하여로 정의되는 함수이다.
항등변환과 영변환은 모두 선형변환이다.
또한 $I_V$는 간단히 $I$로 표기하기도 한다.
3. 영공간과 상공간
벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T : V \to W$에 대하여 다음과 같이 정의한다.
영공간(null space 또는 kernel)
$T(x) = 0$을 만족하는 $x \in V$들의 집합을 $T$의 영공간이라 하며,
$N(T)$로 표기한다.집합으로 쓰면
\[N(T) = \{\, x \in V : T(x) = 0 \,\}\]이다.
상공간(range 또는 image)
$T$의 함수값들을 원소로 가지는 $W$의 부분집합을 $T$의 상공간이라 하며,
$R(T)$로 표기한다.집합으로 쓰면
\[R(T) = \{\, T(x) : x \in V \,\}\]이다.
예제 1
벡터공간 $V, W$와
항등변환 $I : V \to V$,
영변환 $T_0 : V \to W$에 대하여 다음이 성립한다.
예제 2
선형변환 $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$를
\[T(a_1, a_2, a_3) = (a_1 - a_2, 2a_3)\]로 정의하면 다음이 성립한다.
\[N(T) = \{\, (a, a, 0) : a \in \mathbb{R} \,\}, \qquad R(T) = \mathbb{R}^2\]정리 2.2
벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T : V \to W$,
그리고 $V$의 기저 $\beta = \lbrace v_1, v_2, \dots, v_n \rbrace$에 대하여
다음이 성립한다.
예제 3
선형변환
$T : P_2(\mathbb{R}) \to M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 를 다음과 같이 정의하자.
$\beta = \lbrace 1, x, x^2 \rbrace$ 는 $P_2(\mathbb{R})$의 기저이므로,
상공간 $R(T)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이를 계산하면,
\[= \text{span}\left( \lbrace \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \rbrace \right)\]중복되는 벡터를 제거하면,
\[= \text{span}\left( \lbrace \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \rbrace \right)\]따라서 $R(T)$의 기저를 찾았으며,
\[\dim(R(T)) = 2\]이다.
이제 영공간 $N(T)$의 기저를 구하자.
$f(x) \in N(T)$ 는 $T(f(x)) = O$ (영행렬) 인 것과 동치이므로,
이다.
$f(x) = a + bx + cx^2$ 라고 하면, 위 식으로부터 다음을 얻는다.
\[0 = f(1) - f(2) = (a + b + c) - (a + 2b + 4c) = -b - 3c\] \[0 = f(0) = a\]따라서 $a = 0$, $b = -3c$ 이고,
\[f(x) = a + bx + cx^2 = -3cx + cx^2 = c(-3x + x^2)\]가 된다.
즉,
\[N(T) = \text{span}\lbrace -3x + x^2 \rbrace\]이며,
\[\dim(N(T)) = 1\]이다.
이 예제에서 다음 식이 성립함을 확인할 수 있다.
\[\dim(N(T)) + \dim(R(T)) = 1 + 2 = 3 = \dim(P_2(\mathbb{R}))\]4. 랭크와 nullity, 차원정리
벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T : V \to W$에 대하여
$N(T)$와 $R(T)$가 유한차원이라고 가정하자.
$N(T)$의 차원을 nullity(영공간의 차원)라 하고,
이를 $nullity(T)$라 표기한다.$R(T)$의 차원을 rank(랭크)라 하고,
이를 $rank(T)$라 표기한다.
직관적으로 살펴보면, 선형변환에서 nullity가 커질수록 랭크는 작아진다.
많은 벡터가 $0$으로 갈수록 상공간은 작아진다.
같은 방식으로, 랭크가 커질수록 nullity는 작아진다.
다음에서 소개하는 차원정리는 랭크와 nullity 사이의 균형을 묘사한다.
정리 2.3 차원정리
벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T : V \to W$에 대하여
$V$가 유한차원이면 다음이 성립한다.
정리 2.4
벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T : V \to W$에 대하여 다음이 성립한다.
\[T \text{는 단사함수이다} \;\;\Longleftrightarrow\;\; N(T) = \{0\}\]정리 2.5
유한차원 벡터공간 $V, W$의 차원이 같을 때,
선형변환 $T : V \to W$에 대하여 다음 세 명제는 서로 동치이다.
(1) $T$는 단사이다.
(2) $T$는 전사이다.
(3) \(rank(T) = dim(V)\)
예제 1
선형변환
$T : P_2(\mathbb{R}) \to P_3(\mathbb{R})$ 를 다음과 같이 정의하자.
$P_2(\mathbb{R})$의 기저를 $\lbrace 1, x, x^2 \rbrace$로 두면,
\[R(T) = \mathrm{span}\bigl(\lbrace T(1), T(x), T(x^2) \rbrace\bigr) = \mathrm{span}\Bigl(\lbrace 3x,\; 2 + \frac{3}{2}x^2,\; 4x + x^3 \rbrace\Bigr)\]집합
\[\lbrace 3x,\; 2 + \frac{3}{2}x^2,\; 4x + x^3 \rbrace\]는 일차독립이므로
\[\mathrm{rank}(T) = 3\]또한
$\dim(P_3(\mathbb{R})) = 4$ 이므로 $T$는 전사가 아니다.
차원정리에 의해
\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(P_2(\mathbb{R}))\]이므로
\[\mathrm{nullity}(T) + 3 = 3\]따라서
\[\mathrm{nullity}(T) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad N(T) = \lbrace 0 \rbrace\]정리 2.4에 의해 $T$는 단사이다.
예제 2
선형변환
$T : \mathbb{F}^2 \to \mathbb{F}^2$ 를 다음과 같이 정의하자.
이때
\[N(T) = \lbrace 0 \rbrace\]임을 쉽게 확인할 수 있다.
따라서 $T$는 단사이고,
유한차원 벡터공간 $\mathbb{F}^2$에서 정의된 선형변환이므로
정리 2.5에 의해 $T$는 전사이다.