6. 선형변환의 행렬표현
1. 순서기저
유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저(ordered basis)란
순서가 주어진 기저를 말한다.
즉,
일차독립이며 $V$를 생성하는 벡터들로 이루어진 유한 수열을
$V$의 순서기저라고 한다.
예제 1
벡터공간 $\mathbb{F}^3$에서
\[\beta = \lbrace e_1, e_2, e_3 \rbrace, \qquad \gamma = \lbrace e_2, e_1, e_3 \rbrace\]는 모두 순서기저이다.
그러나 순서기저로 보았을 때
\[\beta \neq \gamma\]이다.
표준 순서기저
벡터공간 $\mathbb{F}^n$에서
\[\lbrace e_1, e_2, \dots, e_n \rbrace\]을 $\mathbb{F}^n$의 표준 순서기저(standard ordered basis)라 한다.
비슷한 방식으로,
벡터공간 $P_n(\mathbb{F})$에서
을 $P_n(\mathbb{F})$의 표준 순서기저라 한다.
2. 좌표벡터
유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저를
\[\beta = \lbrace u_1, u_2, \dots, u_n \rbrace\]라 하자.
$x \in V$에 대하여 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n$이
를 만족한다고 하자.
이때 $a_1, a_2, \dots, a_n$은 유일하게 정해진다.
기저 $\beta$에 대한 $x$의 좌표벡터(coordinate vector) $[x]_\beta$는 다음과 같이 정의된다.
\[[x]_\beta = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\]또한 \(x \longmapsto [x]_\beta\)는 $V$에서 $\mathbb{F}^n$으로 가는 선형변환이다.
예제
순서기저
\[\beta = \lbrace 1, x, x^2 \rbrace\]를 가지는 벡터공간 $V = P_2(\mathbb{R})$에서
\[f(x) = 4 + 6x - 7x^2\]라 하자.
이때 $f(x)$의 $\beta$에 대한 좌표벡터는
이다.
3. 선형변환의 행렬표현
유한차원 벡터공간 $V, W$와 각각의 순서기저
$\beta = \lbrace v_1, v_2, \ldots, v_n \rbrace$,
$\gamma = \lbrace w_1, w_2, \ldots, w_m \rbrace$가 주어졌다고 하자.
선형변환 $T : V \rightarrow W$에 대하여,
각 $j = 1, 2, \ldots, n$에 대해 다음을 만족하는 유일한 스칼라 $a_{ij} \in F \; (i = 1, 2, \ldots, m)$가 존재한다.
위의 표기를 그대로 사용하자.
성분이 $A_{ij} = a_{ij}$인 $m \times n$ 행렬 $A$를
순서기저 $\beta$와 $\gamma$에 대한 선형변환 $T$의
행렬표현(matrix representation)이라 하고, 다음과 같이 표기한다.
특히 $V = W$이고 $\beta = \gamma$인 경우에는 간단히
\[A = [T]_{\beta}\]라고 표기한다.
예제 1
선형변환 $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$를 다음과 같이 정의하자.
\[T(a_1, a_2) = (a_1 + 3a_2,\; 0,\; 2a_1 - 4a_2)\]$\mathbb{R}^2$와 $\mathbb{R}^3$의 표준 순서기저를 각각 $\beta$, $\gamma$라 하면,
\[T(1,0) = (1,0,2) = 1e_1 + 0e_2 + 2e_3\] \[T(0,1) = (3,0,-4) = 3e_1 + 0e_2 - 4e_3\]따라서,
\[[T]^\gamma_\beta = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}\]이다.
또 다른 순서기저 $\gamma’ = \lbrace e_3, e_2, e_1 \rbrace$를 사용하면,
가 된다.
예제 2
선형변환 $T : P_3(\mathbb{R}) \to P_2(\mathbb{R})$가
\[T(f(x)) = f'(x)\]를 만족한다고 하자.
$P_3(\mathbb{R})$, $P_2(\mathbb{R})$의 표준 순서기저를 각각 $\beta$, $\gamma$라 하면,
이므로,
\[[T]^\gamma_\beta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]이다.
일반적으로 $T(x^j)$를 $\gamma$의 일차결합으로 표현할 때의 계수들이 $[T]^\gamma_\beta$의 $j+1$번째 열을 이룬다.
영변환, 항등변환의 행렬표현
$V$, $W$를 유한차원 벡터공간이라 하고, 순서기저를 각각
\[\beta = \lbrace v_1, v_2, \dots, v_n \rbrace,\quad \gamma = \lbrace w_1, w_2, \dots, w_m \rbrace\]라 하자.
영변환 $T_0 : V \to W$에 대하여 모든 $j$에 대해
\[T_0(v_j) = 0 = 0w_1 + 0w_2 + \cdots + 0w_m\]이므로,
\[[T_0]^\gamma_\beta = O \quad (m \times n \text{ 영행렬})\]이다.
한편, 항등변환 $I_V : V \to V$에 대하여
\[I_V(v_j) = v_j = 0v_1 + \cdots + 0v_{j-1} + 1v_j + 0v_{j+1} + \cdots + 0v_n\]이므로,
\[[I_V]_\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\]이다.
이는 $n \times n$ 항등행렬이다.
크로네커 델타와 항등행렬
크로네커 델타(Kronecker delta)는 다음과 같이 정의한다.
\[i = j \text{ 일 때 } \delta_{ij} = 1,\quad i \neq j \text{ 일 때 } \delta_{ij} = 0\]$n \times n$ 항등행렬(identity matrix) $I_n$의 성분은 다음과 같다.
\[(I_n)_{ij} = \delta_{ij}\]가리키는 것이 명확한 경우에는 행등행렬의 아래 첨자를 생략하여 $I$로 표기하기도 한다.
예를 들면,
\[I_1 = (1),\quad I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]이다.
즉, 영변환의 행렬표현은 영행렬이고, 항등변환의 행렬표현은 항등행렬이다.
4. 선형변환의 합과 스칼라 곱
$F$-벡터공간 $V, W$ 사이에 정의된 임의의 함수
$T, U : V \to W$와 스칼라 $a \in F$에 대하여,
두 함수의 합 $T + U : V \to W$와 스칼라 곱 $aT : V \to W$를 다음과 같이 정의한다.
합
모든 $x \in V$에 대하여
$(T + U)(x) = T(x) + U(x)$스칼라 곱
모든 $x \in V$에 대하여
$(aT)(x) = aT(x)$
이는 함수의 합과 스칼라 곱에 대한 보편적인 정의와 같다.
선형변환의 합과 스칼라 곱은 여전히 선형변환임을 다음 정리에서 확인한다.
정리 2.7
$F$-벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T, U : V \to W$에 대하여 다음이 성립한다.
(1) 임의의 $a \in F$에 대하여,
$aT + U$는 선형변환이다.
(2) 위 정의와 같이 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의할 때,
$V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 집합은 $F$-벡터공간을 이룬다.
5. 선형변환 공간의 정의
$F$-벡터공간 $V, W$에 대하여
$V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을
$\mathcal{L}(V, W)$라 표기한다.
특히 $V = W$이면,
$\mathcal{L}(V, V)$를 간단히 $\mathcal{L}(V)$라 표기한다.
정리 2.8
유한차원 벡터공간 $V, W$와 각각의 순서기저 $\beta, \gamma$,
선형변환 $T, U : V \to W$에 대하여 다음이 성립한다.
(1)
\[[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}\](2) 모든 스칼라 $a$에 대하여
\[[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}\]예제
선형변환
$T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$,
$U : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$를 다음과 같이 정의하자.
$\beta$와 $\gamma$는 각각 $\mathbb{R}^2$와 $\mathbb{R}^3$의 표준 순서기저라 하자.
이때 다음이 성립한다.
(단, $[T]_{\beta}^{\gamma}$는 앞선 예제에서 이미 계산하였다.)
정의에 따라 $T + U$를 계산하면,
\[(T + U)(a_1, a_2) = (2a_1 + 2a_2,\; 2a_1,\; 5a_1 - 2a_2)\]이다. 따라서 $T + U$의 행렬표현은 다음과 같다.
\[[T + U]_{\beta}^{\gamma} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 0 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}\]이는 정리 2.8에서 설명한 것처럼
\[[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}\]와 일치한다.