7. 선형변환의 합성과 행렬 곱
1. 행렬 곱
유한차원 벡터공간 $V, W, Z$와 선형변환
$T : V \to W$, $U : W \to Z$를 생각하자.
두 선형변환의 합성 $UT : V \to Z$는 선형변환이다.
이제 행렬 곱을 선형변환의 합성과 연결하여 정의한다.
$V$의 순서기저를 $\alpha = \lbrace v_1, v_2, \dots, v_n \rbrace$,
$W$의 순서기저를 $\beta = \lbrace w_1, w_2, \dots, w_m \rbrace$,
$Z$의 순서기저를 $\gamma = \lbrace z_1, z_2, \dots, z_p \rbrace$라 하자.
다음과 같이 행렬을 정의한다.
- $A = [U]_\beta^\gamma$
- $B = [T]_\alpha^\beta$
이때 합성변환 $UT$의 행렬표현은
\[[UT]_\alpha^\gamma = AB\]가 되도록 정의한다.
이를 확인하기 위해 $j = 1, 2, \dots, n$에 대하여 계산하면,
\[\begin{aligned} (UT)(v_j) &= U(T(v_j)) \\ &= U\!\left( \sum_{k=1}^{m} B_{kj} w_k \right) \\ &= \sum_{k=1}^{m} B_{kj} U(w_k) \\ &= \sum_{k=1}^{m} B_{kj} \left( \sum_{i=1}^{p} A_{ik} z_i \right) \\ &= \sum_{i=1}^{p} \left( \sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj} \right) z_i \\ &= \sum_{i=1}^{p} C_{ij} z_i, \end{aligned}\]여기서
\[C_{ij} = \sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj}.\]따라서 \([UT]_\alpha^\gamma = (C_{ij})\)이고, 이는 두 행렬의 곱으로 자연스럽게 정의된다.
정리하면, $m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B$에 대하여
두 행렬의 곱 $AB$는 $m \times p$ 행렬로 정의되며,
이 정의는 선형변환의 합성에 대응되는 행렬 표현이다.
예제
두 행렬 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) 의 곱을 계산하자.
행렬 곱은 각 행과 열의 내적으로 계산되므로,
\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 5 \\ 0 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix}. \end{aligned}\]또한 행렬의 크기 관계를 확인하면, \((2 \times 3) \cdot (3 \times 1) = 2 \times 1\) 이므로, 결과는 $2 \times 1$ 열벡터가 된다.
정리 2.11
유한차원 벡터공간 $V, W, Z$와 각각의 순서기저 $\alpha, \beta, \gamma$,
선형변환 $T : V \to W$, $U : W \to Z$에 대하여 다음이 성립한다.
또한 $V = W = Z$이고 순서기저가 모두 동일하여 $\alpha = \beta = \gamma$인 경우, 즉 선형연산자 $T, U \in \mathcal{L}(V)$에 대해서는 다음이 성립한다.
\[[UT]_\beta = [U]_\beta [T]_\beta\]이는 선형변환의 합성에 대한 행렬표현이 행렬의 곱으로 주어짐을 의미한다.
예제
선형변환 \(U : P_3(\mathbb{R}) \to P_2(\mathbb{R}), \qquad T : P_2(\mathbb{R}) \to P_3(\mathbb{R})\) 를 다음과 같이 정의하자.
\[U(f(x)) = f'(x), \qquad T(f(x)) = \int_0^x f(t)\,dt\]$\alpha, \beta$를 각각 $P_3(\mathbb{R}), P_2(\mathbb{R})$의 표준 순서기저라 하자.
미적분학의 기본정리에 의해 $UT = I$가 $P_2(\mathbb{R})$의 항등변환임을 알 수 있다.
실제로 행렬표현을 계산하면 다음과 같다.
\[[UT]_\beta = [U]_\alpha^\beta [T]_\beta^\alpha = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = [I]_\beta\]따라서 정리 2.11이 이 예제에서 구체적으로 성립함을 확인할 수 있다.
좌측 곱 변환
$A$를 성분이 체 $F$에 속하는 $m \times n$ 행렬이라 하자.
이때 다음과 같이 정의되는 선형변환을 $L_A$로 표기한다.
이러한 선형변환 $L_A$를 좌측 곱 변환(left multiplication transformation)이라 한다.
여기서 $x$는 $F^n$의 열벡터이며, $Ax$는 행렬 $A$와 벡터 $x$의 행렬 곱이다.
예제
행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in M_{2\times 3}(\mathbb{R})\) 에 대하여, 좌측 곱 변환 \(L_A : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) 를 생각하자.
벡터 \(x = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) 에 대하여, \(L_A(x) = Ax = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}.\)
즉, 좌측 곱 변환 $L_A$는 벡터 $x \in \mathbb{R}^3$를 행렬 $A$와의 곱을 통해
$\mathbb{R}^2$의 벡터로 사상하는 선형변환이다.