8. 가역성과 동형사항
1. 가역
정의 (선형변환의 가역성)
벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T : V \to W$를 생각하자.
다음 조건을 만족하는 함수 $U : W \to V$가 존재할 때, $U$를 $T$의 역함수(inverse)라 한다.
이와 같은 역함수가 존재하는 선형변환 $T$를 가역(invertible)이라 하며,
그 역함수를 $T^{-1}$로 표기한다.
또한 $T$가 가역이면, $T$의 역함수는 유일하다.
사실 (가역 선형변환의 성질)
가역인 선형변환 $T, U$에 대하여 다음이 성립한다.
(1) 합성의 역함수
\[(TU)^{-1} = U^{-1} T^{-1}\](2) 역함수의 역함수
\((T^{-1})^{-1} = T\) 특히, $T^{-1}$ 역시 가역이다.
(3) 차원이 같은 경우의 판별 조건
$V, W$가 차원이 같은 벡터공간일 때, 선형변환 $T : V \to W$가 가역이기 위한 필요충분조건은
\[\mathrm{rank}(T) = \dim(V)\]이다.
예제 (선형변환의 역함수)
선형변환
\[T : P_1(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^2\]를 다음과 같이 정의하자.
\[T(a + bx) = (a, a + b)\]이때 $T^{-1} : \mathbb{R}^2 \to P_1(\mathbb{R})$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[T^{-1}(c, d) = c + (d - c)x\]직접 계산하면
\[T(T^{-1}(c, d)) = (c, d), \qquad T^{-1}(T(a + bx)) = a + bx\]가 성립하므로, $T^{-1}$는 $T$의 역함수이다.
따라서 $T$는 가역이며, $T^{-1}$ 또한 선형변환이다.
정의 (행렬의 가역성)
$n \times n$ 행렬 $A$에 대하여
\[AB = BA = I\]를 만족하는 $n \times n$ 행렬 $B$가 존재할 때, $A$를 가역(invertible)이라 한다.
이때 이러한 행렬 $B$는 유일하며, $A$의 역행렬(inverse)이라 부르고
\[A^{-1}\]로 표기한다.
2. 동형사상
두 벡터공간 $V, W$ 사이에 가역인 선형변환
\[T : V \to W\]가 존재하면, $V$는 $W$와 동형(isomorphic)이라 한다.
이때 이러한 가역인 선형변환 $T$를
$V$에서 $W$로 가는 동형사상(isomorphism)이라 한다.
정리 2.20
차원이 각각 $n$, $m$인 $F$-벡터공간 $V$, $W$를 생각하자.
$V$와 $W$의 순서기저를 각각 $\beta$, $\gamma$라 하자.
이때 다음과 같이 정의한 함수
\[\Phi_{\beta}^{\gamma} : \mathcal{L}(V, W) \to M_{m \times n}(F)\]는 동형사상이다.
즉, 임의의 선형변환
\[T \in \mathcal{L}(V, W)\]에 대하여
\[\Phi_{\beta}^{\gamma}(T) = [T]_{\beta}^{\gamma}\]로 정의한다.
3. 표준표현
체 $F$ 위의 $n$차원 벡터공간 $V$의 순서기저를 $\beta$라 하자.
$\beta$에 대한 $V$의 표준표현(standard representation)은 다음과 같이 정의된 함수이다.
즉, 임의의 벡터
\[x \in V\]에 대하여
\[\phi_\beta(x) = [x]_\beta\]로 정의한다.
예제
두 집합
\[\beta = \{(1,0),(0,1)\}, \quad \gamma = \{(1,2),(3,4)\}\]는 $\mathbb{R}^2$의 순서기저이다.
벡터
에 대하여 다음이 성립한다.
\[\phi_\beta(x) = [x]_\beta = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\] \[\phi_\gamma(x) = [x]_\gamma = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}\]