9. 좌표변환 행렬
1. 좌표변환 행렬
도입 (변수 변경의 목적)
수학에서는 변수를 치환하면 수식이 간단해지는 경우가 많다.
예를 들어 미적분학에서는 $u = x^2$로 치환하여 적분을 쉽게 계산하기도 한다.
이는 복잡한 형태를 더 단순한 형태로 바꿀 수 있기 때문이다.
예:
\[\int 2x e^{x^2}\, dx = \int e^u\, du = e^u + c = e^{x^2} + c\]좌표변환의 예시 (회전 좌표로의 변환)
다음 좌표변환을 생각하자.
\[x = \frac{2}{\sqrt{5}}x' - \frac{1}{\sqrt{5}}y'\] \[y = \frac{1}{\sqrt{5}}x' + \frac{2}{\sqrt{5}}y'\]이 변환을 통해 이차식
\[2x^2 - 4xy + 5y^2 = 1\]은 더 간단한 꼴
\[(x')^2 + 6(y')^2 = 1\]로 바뀐다.
따라서 원래 식이 나타내는 곡선은 타원임을 알 수 있다.
또한 이 변환은 평면의 점
\[\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\]의 움직임(좌표계의 회전)을 기하학적으로 이해하기 위한 것이다.
회전된 좌표축과 새로운 기저 $\beta’$
처음의 $xy$좌표계가 원점에 대하여 회전한 좌표계가 $x’y’$좌표계이다.
새 좌표축은 타원의 축 방향과 일치하도록 선택한다.
$x’$축, $y’$축의 양의 방향 단위벡터를 모으면 $\mathbb{R}^2$의 새로운 순서기저가 된다.
이를 $\beta’$라 하면,
이다.
좌표변환의 의미 (기저에 대한 좌표벡터의 변환)
주어진 좌표변환은 표준 순서기저
\[\beta = \{e_1, e_2\}\]에 대한 점 $P$의 좌표벡터
\[[P]_{\beta}= \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\]를 회전시켜,
새롭게 얻은 기저 $\beta’$에 대한 좌표벡터
로 “옮기는” 변환으로 볼 수 있다.
연립방정식의 행렬 표현 (좌표변환 행렬)
위 변환에서 새 좌표 $(x’,y’)$와 기존 좌표 $(x,y)$를 연결하는 식은 다음과 같이 행렬로 표현된다.
\[\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\]이때
\[Q = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]는 항등변환의 행렬표현과 같아서,
\[Q = [I]^{\beta}_{\beta'}\]로 해석할 수 있다.
즉, $Q$는 $\beta’$-좌표를 $\beta$-좌표로 바꾸는 좌표변환 행렬이다.
따라서 임의의 $v \in \mathbb{R}^2$에 대하여,
\[[v]_{\beta} = Q [v]_{\beta'}\]가 성립한다.
정리 2.22
유한차원 벡터공간 $V$의 두 순서기저를 $\beta$, $\beta’$라 하자.
$Q = [I_V]^{\beta}_{\beta’}$라 두면 다음이 성립한다.
(1) $Q$는 가역행렬이다.
(2) 임의의 $v \in V$에 대하여,
\[[v]_{\beta} = Q [v]_{\beta'}\]이다.
예제 (좌표변환 행렬의 계산)
$\mathbb{R}^2$에서
\[\beta = \{(1,1), (1,-1)\}, \quad \beta' = \{(2,4), (3,1)\}\]이라 하자.
벡터 $(2,4)$에 대하여,
이므로,
\[[(2,4)]_{\beta} = \begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}\]또한 $(2,4)$은 $\beta’$의 첫 번째 기저벡터이므로,
\[(2,4) = 1(2,4) + 0(3,1)\]이므로,
\[[(2,4)]_{\beta'} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\]같은 방식으로 $\beta’$의 두 번째 기저벡터 $(3,1)$에 대해서도 확인해 보자.
먼저 $(3,1)$을 $\beta$의 일차결합으로 나타내면,
\[(3,1) = 2(1,1) + 1(1,-1)\]이므로,
\[[(3,1)]_{\beta} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\]또한 $(3,1)$은 $\beta’$의 두 번째 기저벡터이므로,
\[(3,1) = 0(2,4) + 1(3,1)\]이고,
\[[(3,1)]_{\beta'} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\]따라서 $\beta’$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하는 행렬 $Q$는
\[Q = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]이며 실제로
\[[(2,4)]_{\beta} = Q[(2,4)]_{\beta'} = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}\]가 성립한다.
2. 선형연산자와 좌표변환에 따른 행렬 표현
이번 절에서는 벡터공간 $V$에서 자기 자신으로 가는 선형변환만을 다룬다.
이러한 선형변환을 $V$의 선형연산자(linear operator) 라고 한다.
유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$와
$V$의 두 순서기저 $\beta, \beta’$에 대하여
$T$는 각각의 기저에 따라 서로 다른 행렬로 표현된다.
즉, 선형연산자 $T$는
기저 \(\beta\)에 대하여 행렬 \([T]_{\beta}\)로,
기저 \(\beta'\)에 대하여 행렬 \([T]_{\beta'}\)로 표현된다.
이 두 행렬 사이에는 어떤 관계가 있을까?
이를 좌표변환 행렬을 이용하여 살펴본다.
정리 2.23
유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$와
$V$의 두 순서기저 $\beta, \beta’$를 생각하자.
$\beta’$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하는 행렬을 $Q$라 하면
다음 관계가 성립한다.
즉, 서로 다른 기저에서의 선형연산자의 행렬 표현은
좌표변환 행렬 $Q$에 의해 서로 닮음 변환(similarity) 관계에 있다.
예제
$\mathbb{R}^2$의 선형연산자 $T$가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자.
\[T \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a - b \\ a + 3b \end{pmatrix}\]기저 $\beta, \beta’$에 대하여
$[T]_{\beta}$는 다음과 같다.
또한, $\beta’$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하는 행렬이
\[Q = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]이고, 그 역행렬이
\[Q^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]임을 확인할 수 있다.
정리의 공식을 적용하면,
\[[T]_{\beta'} = Q^{-1} [T]_{\beta} Q = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}\]가 된다.
예제 검증 (행렬의 의미 확인)
위에서 얻은 $[T]_{\beta’}$가 올바른지 확인해 보자.
$T$에 의해 $\beta’$의 각 기저벡터가 옮겨진 상은
$\beta’$의 일차결합으로 표현되며,
그 계수는 행렬 $[T]_{\beta’}$의 열 벡터에 해당한다.
예를 들어, $\beta’$의 두 번째 벡터가
\[\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]라고 하면,
\[T \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix}\]이다.
이를 $\beta’$의 일차결합으로 나타내면
\[\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]가 된다.
따라서 일차결합의 계수 $(1, 2)^T$는
행렬 $[T]_{\beta’}$의 두 번째 열과 일치하며,
계산된 행렬이 정확함을 확인할 수 있다.